Las funciones polinomiales de grado 2

Las funciones polinomiales de grado 2, también conocidas como funciones cuadráticas, son expresiones matemáticas que se pueden escribir en la forma:

$𝑓(𝑥)=𝑎{𝑥}^2+𝑏𝑥+𝑐$

donde:

• $𝑎$, $𝑏$ y $𝑐$ son números reales (constantes).
• $𝑥$ es la variable.

Aquí te dejo una explicación sencilla de cada componente:

1. Coeficiente $𝑎$: Este es el número que multiplica al término ${𝑥}^2$. Si $𝑎$ es positivo, la parábola (la gráfica de la función) se abre hacia arriba. Si $𝑎$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

2. Coeficiente $𝑏$: Este número multiplica al término $𝑥$. Afecta la inclinación y la posición de la parábola en el plano, pero no su forma general.

3. Constante $𝑐$: Este es el término independiente, el valor de la función cuando $𝑥=0$. Básicamente, es el punto donde la parábola cruza el eje $𝑦$.

Características principales:

• Forma de la gráfica: La gráfica de una función cuadrática es una curva llamada parábola.

• Vértice: El punto más alto o más bajo de la parábola (dependiendo de si se abre hacia arriba o hacia abajo). La fórmula para encontrar el vértice es:

  $𝑥=-\frac{𝑏}{2𝑎}$

  Y para encontrar el valor de $𝑦$ en el vértice, se sustituye este valor de $𝑥$ en la función.

• Eje de simetría: Es una línea vertical que pasa por el vértice y divide la parábola en dos partes simétricas. Su ecuación es:

  $𝑥=-\frac{𝑏}{2𝑎}$

• Raíces o ceros: Son los puntos donde la parábola cruza el eje $𝑥$. Se encuentran resolviendo la ecuación cuadrática $𝑎{𝑥}^2+𝑏𝑥+𝑐=0$ usando la fórmula cuadrática:

  $𝑥=\frac{-𝑏\pm \sqrt{{𝑏}^2-4𝑎𝑐}}{2𝑎}$

Ejemplo práctico:

Supongamos que tenemos la función cuadrática $𝑓(𝑥)=2{𝑥}^2-4𝑥+1$.

1. Identificamos los coeficientes: $𝑎=2$, $𝑏=-4$, $𝑐=1$.

2. Vértice: $𝑥=-\frac{-4}{2(2)}=1$ Para encontrar el valor de $𝑦$ en el vértice: $𝑓(1)=2(1{)}^2-4(1)+1=-1$ Así que el vértice es $(1,-1)$.

3. Eje de simetría: $𝑥=1$.

4. Raíces: $𝑥=\frac{4\pm \sqrt{(-4{)}^2-4(2)(1)}}{2(2)}=\frac{4\pm \sqrt{16-8}}{4}=\frac{4\pm \sqrt{8}}{4}=\frac{4\pm 2\sqrt{2}}{4}=1\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ Así que las raíces son $𝑥=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$ y $𝑥=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Espero que esta explicación te haya ayudado a entender las funciones polinomiales de grado 2 de manera sencilla.